Što je aritmetika? Teorema aritmetike. binarne aritmetike

Što je aritmetika? Kada je počela čovječnosti za korištenje brojeva i raditi s njima? Gdje su svoje korijene od svakodnevnih pojmova kao što su brojevi, razlomci, oduzimanje, zbrajanje i množenje, ta osoba je napravila sastavni dio njegovog života i Outlook? Grčki umovi divio kao što nauka su matematika, aritmetike i geometrije, kao prekrasna simfonija ljudske logike.

Možda matematika nije tako duboka kao i drugih nauka, ali ono što će im se dogoditi, ljudi zaboravljaju osnovne tablice množenja? Poznato nam logičko razmišljanje, pomoću brojeva, frakcije, i druge alate koji daju ljudima teško, i za dugo vremena nije bio dostupan našim precima. U stvari, prije razvoja aritmetike nema područja ljudskog znanja nije bio istinski naučna.

Aritmetika - Matematika je abeceda

Aritmetika - nauka o brojevima, s kojim svaki pojedinac počinje poznanstvo sa fascinantan svijet matematike. Po riječima M. V. Lomonosov, aritmetika - ovo je kapija učenja, otvarajući put za nas da Miropoznanie. Ali on je u pravu, je znanje o svijetu može biti odvojen od znanja slova i brojeva, matematike i govor? Možda u starim danima, ali ne u modernom svijetu, gdje je brz razvoj nauke i tehnologije donosi svoje zakone.

Riječ "aritmetika" (grč. "Arifmos") grčkog porijekla, znači "broj". Ispituje broj i sve to mogu biti povezani s njima. Ovo je svijet brojeva: različite operacije na brojevima, numeričke pravila, zadatke koji su povezani sa množenje, oduzimanje, i tako dalje ..

To je općenito prihvaćeno da početni korak je aritmetički matematike i solidnu osnovu za složenije svoje sekcije, kao što su algebra, matematička analiza, više matematike i t. D.

Glavni cilj aritmetičke

Osnova aritmetike - je cijeli broj, svojstva i zakoni koji se smatraju najvećim aritmetičke ili teorije brojeva. U stvari, kako se pravi pristup uzeti u obzir takve mala jedinica, kao prirodan broj zavisi od jačine zgrade - matematike.

Stoga, pitanje koje je aritmetika, odgovor je jednostavan: to je nauka o brojevima. Da, o uobičajenim sedam, devet, a sve to raznolike zajednice. I baš kao i većina osrednji stihova ne mogu pisati bez osnovnih pisma, bez aritmetika ne može biti riješen ni osnovnih zadataka. To je razlog zašto sve nauke su napredovale tek nakon razvoja aritmetike i matematike, što je prije svega skup pretpostavki.

Aritmetika - nauka-ghost

Ono što je aritmetika - prirodne nauke ili fantom? U stvari, kao što je drevni grčki filozofi obrazloženo, ne brojevi, ne brojke u stvarnosti ne postoji. To je samo fantom, koji se stvara u ljudske misli kada gledate životne sredine i njenih procesa. U stvari, ono što je broj? Nigdje oko mi ne vidimo ništa slično bi se moglo nazvati na broj, odnosno broj - to je način da istražite svijet ljudskog uma. Možda ova studija imamo u sebi? Filozofi raspravljati o ovom vekovima za redom, tako da daju iscrpan odgovor ne obavezuju. U svakom slučaju, aritmetika mogao tako čvrsto zauzeti svoje mjesto u modernom svijetu niko ne može se smatrati socijalno prilagoditi bez znanja temelja.

Kao da je pozitivan cijeli broj

Naravno, glavni cilj koji posluje aritmetike, - prirodan broj, kao što su 1, 2, 3, 4, ..., 152 ... itd Aritmetika prirodnih brojeva je rezultat na račun običnih predmeta, kao što su krave na livadi. Ipak, definicija "mnogo" ili "malo", kada je nešto prestala da drži ljude, pa je morao da izmisli sofisticiranije tehniku brojanja.

Ali pravi proboj je došao kada je ljudski um završila je na tačku koja može biti jedan i isti broj "dva" da odredi i 2 kg, a 2 cigle i 2 dijela. Činjenica da je neophodno da se izvod iz oblika, karakteristike i značenje predmeta, onda možemo proizvesti neku akciju sa ovim objektima u obliku pozitivnih cijelih brojeva. Tako je rođena aritmetičkih brojeva, koja se dalje razvijati i proširiti u zauzima položaj u društvu.

Takva dubinska pojam broja, kao nula i negativne brojeve, razlomke, brojevi odnose se na brojeve na druge načine, imaju bogatu i zanimljivu istoriju razvoja.

Aritmetički i praktične Egipćani

Dvije drevne ljudske suputnik u istraživanju svijeta i rješavanju svakodnevnih problema - ovo aritmetike i geometrije.

Smatra se da je istorija aritmetike ima svoje korijene u drevnom Istoku: Indija, Egipat, Vavilon i Kini. Dakle, Rhind papirus egipatskog porijekla (tako nazvan jer je isto ime pripada vlasniku), koja datira iz XX stoljeća. BC, pored ostalih vrijednih podataka uključuje proširenje frakcija u iznosu od frakcija različitih imenitelje i brojnik jednak jedan.

Na primjer: = 1/60 + 2/73 1/219 + 1/292 + 1/365 .

Ali ono što je smisao takvog kompleksa raspadanja? Činjenica da je egipatski pristup ne toleriše zahvaćene razmišlja o brojevima, naprotiv, proračuni su napravljeni samo za praktične svrhe. To jest, Egipćani će biti uključeni u takve posao kao i proračunima, samo kako bi se izgradio grobnicu, na primjer. Bilo je potrebno izračunati dužinu fin strukture, i to je za osobu da sjedi papirus. Kao što se vidi, egipatski napredak u proračunima zvao, a masivna, izgradnju, a ne ljubav prema znanosti.

Iz tog razloga, proračuni naći na papirusima, ne može se nazvati refleksije na temu frakcija. Najvjerojatnije, to je praktičnu pripremu, koja je pomogla da se dodatno riješiti probleme sa frakcije. Drevni Egipćani nisu znali tablicu množenja, proizvela je prilično dugačak proračuna, raširi u mnoge podzadataka. Možda je to jedan od onih podzadataka. Lako je primjetiti da se proračuni sa ovim prazninama je vrlo dugotrajan i ne baš obećavajuće. Možda iz tog razloga ne vidimo veliki doprinos razvoju staroegipatskih matematike.

Antičkoj Grčkoj i filozofskih aritmetika

Mnogi od znanja Starog istoka su uspješno savladali stari Grci, poznat ljubiteljima apstraktno, apstraktne i filozofske refleksije. Vježbajte ih zanimaju ništa manje nego najbolji teoretičari i mislioci su teško pronaći. Bilo je dobro za nauku, jer matematika nije moguće ići duboko, a ne kidanje sa stvarnošću. Naravno, moguće je da se pomnožiti 10 krava i 100 litara mlijeka, ali ne i biti u mogućnosti da se daleko.

Grci razmišljanja duboko ostavio značajan trag u istoriji, a njihovi radovi su došli do nas:

• Euclid i "Elementi".
• Pitagora.
• Arhimed.
• Eratosten.
• Zenon.
• Anaksagora.

I, naravno, sve pretvara filozofiju Grka, a posebno sljedbenici Pitagore slučajeva su bili toliko strastveni o broju, što im je misterija svijeta harmoniju u obzir. Brojke su tako proučavali i istraživali, da su neki od njih i njihove parove pripisuju posebna svojstva. Na primjer:

• Perfect brojevi - one koje su zbir svih svojih djelilaca osim samog broja (6 = 1 + 2 + 3).
• Prijateljski brojevi - ovi brojevi, od kojih je jedan zbir svih djelilaca drugog i obrnuto (Pitagorin znati samo jedan takav par: 220 i 284).

Grci, koji su smatrali da nauka treba da bude voljen, a ne da se s njom radi pojačanja, su napravili veliki napredak, istraživanje, igranje i dodavanje brojeva. Treba napomenuti da nisu svi svojih istraživanja su u širokoj upotrebi, neki od njih su bili samo "za ljepotu."

Istočni mislioci srednjeg vijeka

Slično tome, u srednjem vijeku aritmetičke duguje svoj razvoj istočnog savremenika. Indijanci nam je dao brojke koje aktivno koriste nešto što se zove "nulu", a varijacije poziciju sistema obračuna, uobičajene moderne percepcije. Od Al-kaša, koja je u 15. stoljeću radio u Samarkand, mi smo naslijedili su decimale, bez kojih je teško zamisliti modernu aritmetike.

Na mnogo načina, Europe upoznaju sa je napravljen dostignućima Istoka moguće zahvaljujući radu italijanskog naučnika Leonardo Fibonacci, koji je napisao knjigu "Liber Abaci", upoznavanje sa orijentalnim inovacija. Ona je postala kamen temeljac razvoja algebre i aritmetike, istraživanja i naučne aktivnosti u Europi.

Ruski aritmetika

Konačno, aritmetika, je našao svoje mjesto i ukorijenjen u Evropi, počeo da se širi na ruskom zemljišta. Prvo aritmetika objavljen u 1703 - to je knjiga o aritmetici Leontiya Magnitskogo. Dugo vremena je to bio jedini tutorial u matematici. Sadrži početne trenutke algebre i geometrije. Brojke, koji su se koristili u primjerima prvog ruskog udžbenik aritmetike, arapski. Iako arapskim brojevima sastali su se ranije, u gravire datira iz 17. stoljeća.

Sama knjiga je ukrašena slikama Arhimed i Pitagora, i na prvoj stranici - aritmetički sliku kao žena. Ona sjedi na tronu, ispod nje je napisano u hebrejskom riječ za ime Boga, i na korake koji vode do oltara, ispisana riječ "podjela", "povećanje", "Osim toga", i tako dalje. D. Jedan samo da zamislite kako vrijednost izdao takve istine, koje se sada smatraju uobičajena.

Udžbenik 600 stranica opisuje kao osnove kao što su zbrajanje i tablice množenja, i aplikacija za navigacijske nauka.

Nije iznenađujuće, autor je izabrao sliku grčkog mislilaca za knjigu, jer je i sam bio očaran ljepotom aritmetike, rekavši: "aritmetika je chislitelnitsa tamo Art Fair, nezavistnoe ...". Ovaj pristup aritmetika je osnovan, jer je to njegovo široko prihvatanje može se smatrati početkom brz razvoj naučne misli u Rusiji i općeg obrazovanja.

Uneasy prostih brojeva

Prost broj - to je prirodan broj, što je samo 2 pozitivno divisors: 1 i sebe. Svi ostali brojevi, osim 1 se zove kompozitni. Primjeri prostih brojeva: 2, 3, 5, 7, 11, i svi ostali koji nisu delilaca osim 1 i samog broja.

Što se tiče broja 1, to je uz premiju - postoji saglasnost da treba uzeti u obzir ni jednostavan ni spoj. Jednostavno na prvi pogled, jednostavna broj krije mnogo neriješenih misterija u sebi.

Euclid teorem kaže da je beskonačan broj prostih brojeva, i Eratosten je došao sa posebnim aritmetici "sito", koji eliminiše komplikovan brojeva, ostavljajući samo jednostavno.

Njegova suština je da se naglasi povratiti prvi broj, a na kasnijim upečatljiv od onih koje su višestruke toga. ovaj postupak nekoliko puta ponavljamo - i dobiti sto prostih brojeva.

Teorema aritmetike

Među zapažanja o prostih brojeva je potrebno da posebno spomenuti osnovne aritmetičke teorema.

Osnovne aritmetičke teorema kaže da je bilo koji cijeli broj veći od 1, ili jednostavno ili se može rastaviti na produkt prostih brojeva do reda ponavljanja faktora, jedini način.

Teorema aritmetike pokazala prilično glomazna, i razumijevanje se ne sviđa samo osnove.

Na prvi pogled, prostih brojeva - elementarne koncept, ali to nije. Fizike i jednom razmotriti osnovne atom, dok nije našla unutar svemira. Primes posvećen lijepoj priči matematičar Don Zagier "Prvo pedeset miliona prostih brojeva."

Iz "tri jabuke" u deduktivno zakona

To zaista može nazvati ojačana temelj svih znanosti - zakoni aritmetike. Još kao dijete sve aritmetičke lice, proučavajući broj nogu i ruku na lutke, broj kocke, jabuke i tako dalje. D. Tako učimo aritmetika, koji potom napreduje u složenije pravila.

čitav naš život nas uvodi u pravila aritmetike, koji su bili za običnog čovjeka najkorisnije od svih da nauka daje. Studija brojeva - to je "aritmetika-baby", koji uvodi čovjeka u svijet brojeva kao cifre u ranom djetinjstvu.

Veći Aritmetički - deduktivno nauka koja proučava zakone aritmetike. Većina njih znamo, iako možda ne znamo njihov tačan tekst.

Zakon sabiranja i množenja

Bilo koja dva prirodna broja A i B može se izraziti kao zbroj a + b, koji je ujedno i prirodan broj. Što se tiče toga, sljedeći zakoni:

• Komutativna, koji kaže da je permutacija termina stavlja iznos ne mijenja, ili a + b = b + a.
• Asocijativne to rekao suma ne ovisi o načinu grupiranja termina u mjestima ili + (b + c) = (a + b) + c.

Pravila aritmetike, kao što je dodatak, - jedan od osnovnih, ali oni se koriste svim naukama, da ne spominjem svakodnevnom životu.

Bilo koja dva prirodna broja A i B može se izraziti u proizvodu ili b * a * b, koji je ujedno i prirodan broj. Da se proizvod istog komutativne i asocijativni zakona kao dodatak:

• a * b = b * a;
• a * (b * c) = (a * b) * c.

Zanimljivo je da postoji zakon, koji kombinira sabiranja i množenja, također poznat kao distribuciju ili distributivni zakon:

a (b + c) = ab + ac

Ovaj zakon nas uči da radimo sa nosačima, da ih otvorite, tako da već sada možemo raditi s više složenim formulama. To su zakoni koji će nas voditi kroz čudan, ali kompleksan svijet algebre.

Zakon aritmetika kako

o zakonima ljudske logike koristi svaki dan, provjere svoj sat i brojanje račune. I, ipak, i to treba da bude u određeni jezik.

Ako imamo dva pozitivne integers A i B, a zatim sljedeće opcije:

• A jednak B, ili = b;
• a manje od b ili a
• a je veći od b ili a> b.

Od tri opcije samo može biti samo jedan. Osnovnog zakona, kojim se uređuje postupak, rekao je: ako je

Tu su i zakoni koji se vezuju akcije reda sabiranja i množenja: ako je

Zakoni aritmetike nas je naučio raditi s brojevima, znakovima i konzole, pretvarajući sve u harmoničnu simfoniju brojeva.

Poziciono i nonpositional brojni sistem

Možemo reći da su brojevi - to je jezik matematike, iz udobnosti koja zavisi od mnogo stvari. Postoje mnogi sistemi obračuna, koji, kao i pisma različitih jezika razlikuju.

Uzeti u obzir broj sistema sa stanovišta uticaja pozicije na kvantitativne vrijednosti brojke u tom položaju. Na primjer, rimski sistem je nonpositional, gdje se svaki broj kodiran određeni skup posebnih znakova: I / V / X / L / C / D / M. Oni su, odnosno, brojevi 1/5/10/50/100/500 / 1000. U ovom sistemu, brojka ne mijenja svoje kvantitativno određivanje, u zavisnosti od toga u kom položaju kako bi trebalo: .. Prvi, drugi, itd Da biste dobili neki drugi broj, potrebno je utvrditi bazu. Na primjer:

• DCC = 700.
• CCM = 800.

Više nam poznate numeričkog sistema koriste arapskim brojevima je poziciju. U takvom sistemu broj pražnjenja određuje broj znamenki, na primjer, trocifreni brojevi: 333, 567, itd Težinu bilo kojeg od pražnjenja ovisi o poziciji na kojoj je ta cifra jedno ili drugo, npr figura 8 u drugoj poziciji ima vrijednost 80. To je tipično za decimalni sustav, postoje i drugi pozicioni sistem, kao što su binarni.

binarne aritmetike

Mi smo upoznati decimalni sistem, koji se sastoji od jedne-bitni i multi-bitne brojeve. Sliku na lijevoj strani u dvocifreni broj je deset puta veći u važnost jedan na desnoj strani. Dakle, koristili smo za čitanje 2, 17, 467, i tako dalje. D. To je drugačiji logika i pristup sekcija, koja se zove "binarni aritmetike." To i ne čudi, jer binarni aritmetika nije kreiran za ljudsku logiku, i za kompjuter. Ako aritmetičke brojeva potiče iz prebrojavanja, što je dodatno zahvata iz imovina koja je predmet "goli" aritmetika, onda to neće raditi s vašim računalom. Biti u mogućnosti da podijele svoje znanje sa kompjuterom, čovjek je morao da izmisli proračun modela.

Binarne aritmetike radi sa binarnim alfabet, koji se sastoji samo od 0 i 1. i upotreba ovog abeceda se zove binarnom sistemu.

Za razliku od binarne aritmetike decimalni da je važnost položaja na lijevoj nisu više od 10, a 2 puta. Binarni brojevi su oblika 111, 1001 i tako dalje. D. Kako da razumijemo ove brojke? Dakle, smatramo da je broj 1100:

1. Prva cifra na lijevoj strani - 1 * 8 = 8, imajući u vidu da je četvrta cifra, što znači da mora biti pomnožen 2, dobijamo 8 poziciju.
2. Druga cifra 1 * 4 = 4 (položaj 4).
3. Treća cifra 0 * 2 = 0 (položaj 2).
4. Četvrta cifra 0 * 1 = 0 (položaj 1).
5. Dakle, naš broj 1100 = 8 + 4 + 0 + 0 = 12.

To jest, prelazak na novu kategoriju s lijeve strane njegov značaj u binarnom sistemu se množe sa 2 i decimalnim - do 10. Takav sistem ima jednu manu: prevelika je bita rasta koje su potrebne za snimanje brojeva. Primjeri decimalne brojeve dvochinyh što se može vidjeti u sljedećoj tabeli.

Decimalni brojevi su predstavljeni u binarnom obliku ispod.

Također se koristi oktalni i heksadecimalni brojni sistem.

Ovaj misteriozni aritmetika

Ono što je aritmetika, "dva plus dva" ili neistražena misterija brojeva? Kao što možete vidjeti, aritmetiku, može, i što se čini na prvi pogled jednostavan, ali to nije očigledno varljiva lakoćom. Moguće je da uče djecu, a zajedno sa tetkom Owl iz crtanog filma "aritmetika-baby", a možete uroniti u duboku naučna istraživanja gotovo filozofskih reda. U povijest je otišao iz brojanje objekata da obožavaju ljepotu brojeva. Jedno je sigurno: sa uspostavljanjem osnovnih postulata aritmetike, svih nauka mogu osloniti na nju jak ramenu.