Zbir uglova trougla. Teoremu o zbiru uglova trougla

Trokuta je poligon sa tri strane (tri ugla). Najčešće, dio označen malim slovima odgovarajućim slovima, koje predstavljaju suprotne vrhova. U ovom članku osvrćemo na ove vrste geometrijskih oblika, teorema, koji definira što je jednak zbiru uglova trougla.

Vrste najveći uglova

Sljedeće vrste poligona sa tri vrhova:

• akutne-angled, u kojoj su svi uglovi su oštri;
• pravokutnog oblika sa jednim pravim kutom, sa strane formiranje to, odnosi se na noge, a ona strana koja se odlaže suprotno pravim uglom se zove hipotenuze;
• tup kada je jedan ugao je tup ;
• jednakokračan, čije dvije strane su jednake, a oni se nazivaju bočnog, a treći - trougao sa bazom;
• jednakostranični ima tri jednake strane.

svojstva

Dodijeliti osnovnih osobina koje su karakteristične za svaku vrstu trokuta:

• nasuprot najveći strani je uvijek veći kut, i obrnuto;
• su jednaki uglovi naspram jednake najveća stranka, i obrnuto;
• na bilo koji trokut ima dva akutna uglova;
• vanjski kut veći od bilo kojeg unutrašnjeg kuta nije uz nju;
• zbroj bilo koja dva ugla je uvijek manje od 180 stupnjeva;
• eksterijer ugao jednak je zbiru druga dva ugla, koji nisu mezhuyut s njim.

Teoremu o zbiru uglova trougla

Teorem kaže da ako se saberu sve uglovima geometrijskih oblika, koji se nalazi u Euklidska ravnina, onda njihov zbir će biti 180 stupnjeva. Probajmo dokazati teorem.

Neka imamo proizvoljan trougao sa temena KMN. Preko vrha M će održati direktan paralelna linija KN (čak i ova linija se zove Euclid). Treba napomenuti tačke A tako da se točke K i A su raspoređeni sa različitih strana linije MN. Mi smo dobili isti ugao AMS i MUF, koji, kao i interijer, leže poprečno formirati ukrštaju MN u kombinaciji sa direktnim CN i MA, koji su paralelno. Iz toga slijedi da je suma uglova trougla, nalazi na temena M i N jednaka je veličini CMA ugla. Sva tri ugla sastoje od sume koja je jednaka zbiru uglova KAMP i MCS. Budući da su podaci unutrašnjih uglova u odnosu jednostrano paralelne linije CL i CM magistrirala na seku, njihov zbir je za 180 stupnjeva. Ovo dokazuje teorem.

rezultat

Gore navedenog teorema podrazumijeva sljedeće posljedica: svaki trougao ima dva akutna uglovima. Da bi to dokazao, pretpostavimo da je to geometrijski lik ima samo jedan mrtvog ugla. Također se možete pretpostaviti da nijedan od uglova nisu oštre. U ovom slučaju to mora biti najmanje dva ugla, od kojih je veličina je jednaka ili veća od 90 stupnjeva. Ali onda je zbir uglova je veći od 180 stupnjeva. Ali to ne može biti, jer prema teoremu zbir uglova trougla jednak 180 ° - ni više, ni manje. To je ono što se treba dokazati.

Nekretnine vanjskih kutova

Koji je zbir uglova trougla, koji su vanjski? Odgovor na ovo pitanje može se dobiti primjenom jedan od dva načina. Prvi je da morate pronaći zbir uglova, koje se uzimaju jedan iz svakog vrha, to jest, tri ugla. Drugi znači da morate pronaći zbir šest uglova na temena. Da se bavi početku prvog utjelovljenje. Dakle, trokut sadrži šest vanjskim uglovima - na vrhu svakog od njih. Svaki par ima jednake uglove između sebe, jer su vertikalne:

∟1 = ∟4, ∟2 = ∟5, ∟3 = ∟6.

Osim toga, poznato je da je vanjski ugao trougla jednak je zbiru dva unutrašnjosti, koje nisu mezhuyutsya s njim. dakle,

∟1 = ∟A + ∟S, ∟2 = ∟A + ∟V, ∟3 = ∟V + ∟S.

Iz ovog se čini da je suma eksterijera uglova, koje se uzimaju jedan po jedan u svaki čvor će biti jednake:

∟1 + ∟2 + ∟3 = ∟A + + ∟S ∟A ∟V + + + ∟V ∟S = 2 x (∟A + ∟V ∟S +).

S obzirom na činjenicu da je zbir uglova jednak 180 stupnjeva, može se reći da ∟A + ∟V ∟S = + 180 °. To znači da ∟1 + ∟2 + ∟3 = 2 x 180 ° = 360 °. Ako se koristi drugu opciju, zbir šest uglova će biti odgovarajuće veća dva puta. Odnosno zbir uglova trougla izvan će biti:

∟1 + ∟2 + ∟3 + ∟4 + ∟5 + ∟6 = 2 x (∟1 + ∟2 + ∟2) = 720 °.

pravokutni trokut

Ono što je jednako zbiru uglova pravouglog trougla, je otok? Odgovor je, ponovo, iz teorema, u kojem se navodi da su uglovi trougla dodati do 180 stupnjeva. A zvuk naše tvrdnje (u vlasništvu) na sljedeći način: u pravouglog trougla oštrim uglovima dodati do 90 stepeni. Mi smo dokazati svoju vjerodostojnost. Neka bude dat trougao KMN, koji ∟N = 90 °. Potrebno je dokazati da ∟K ∟M = + 90 °.

Tako je, prema teoremu o zbiru uglova ∟K + ∟M ∟N + = 180 °. U ovom stanju kaže se da ∟N = 90 °. Ispostavilo se da ∟K ∟M + + 90 ° = 180 °. To je ∟K ∟M + = 180 ° - 90 ° = 90 °. To je ono što mi treba dokazati.

Pored navedenog svojstva pravouglog trougla, možete dodati ove:

• uglova, koje leže u odnosu na noge su oštri;
• hipotenuze trougaone veći od bilo koje od nogu;
• zbir noge više nego hipotenuze;
• noga trokuta, koji se nalazi nasuprot uglom od 30 stepeni, pola hipotenuze, koja je jednaka njegovoj pola.

Kao još jedan u vlasništvu geometrijskih oblika mogu se razlikovati Pitagorin teorem. Ona tvrdi da je u trougao sa uglom od 90 stepeni (pravougaoni), zbir kvadrata nogu jednaka kvadratu hipotenuze.

Zbir uglova jednakokrakog trougla

Ranije smo rekli da je jednakokračan trokut je poligon sa tri tjemena, koji sadrži dva jednaka strane. Ova nekretnina je poznat geometrijski lik: uglova u osnovi jednaki. Dokažimo ovo.

Uzmite trougla KMN, koji je jednakokračan, SC - svoju bazu. Mi se traži da dokaže da ∟K = ∟N. Dakle, pretpostavimo da je MA - KMN je simetrala našeg trokuta. ICA trougao sa prvi znak jednakosti je trokut MNA. Naime, hipoteza s obzirom da CM = NM, MA je čest strane, ∟1 = ∟2, jer MA - ovo simetrala. Koristeći jednakost dva trougla, moglo bi se reći da ∟K = ∟N. Dakle, teorem dokazuje.

Ali nas zanima, što je zbir uglova trougla (jednakokračan). Jer, u tom smislu nema njegove karakteristike, mi ćemo početi od teorema razgovarali ranije. To je, možemo reći da ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, ili 2 x ∟K ∟M + = 180 ° (kao ∟K = ∟N). Ovo neće dokazati vlasništvo, kao teorema o zbir uglova trougla je ranije dokazano.

Osim smatra svojstva uglova trougla, postoje i takve važne izjave:

• u jednakostraničnog visina trokuta, koji je smanjen na bazu, istovremeno srednja simetrala ugla koji je između jednak strane i ose simetrije svoje baze;
• medijana (bisector, nadmorska visina), koji se održavaju sa strane geometrijske figure, su jednaki.

jednakostranični trougao

Naziva se na desnoj strani je trokut, koji su jednaki za sve strane. A samim tim i jednake i uglova. Svaki od njih je 60 stepeni. Dokažimo ove nekretnine.

Pretpostavimo da imamo trokut KMN. Znamo da je KM = HM = KH. To znači da, prema imovini uglova se nalazi u bazi u jednakostraničnog trougla ∟K = ∟M = ∟N. Jer, prema zbiru uglova trougla teorema ∟K + ∟M ∟N + = 180 °, tada je x 3 = 180 ° ∟K ili ∟K = 60 °, ∟M = 60 °, ∟N = 60 °. Dakle, tvrdnja je dokazana. Kao što se vidi iz gore navedenih dokaza na osnovu gore teorema, zbir uglova jednakostraničnog trougla, kao zbir uglova bilo kojeg drugog trokuta je za 180 stupnjeva. Ponovo dokazuju teorema nije potrebno.

Još uvijek postoje neke osobine karakteristične jednakostraničnog trokuta:

• srednja visina bisector u geometrijske figure identične, a njihova dužina izračunava se kao (A x √3): 2;
• ako je to poligon circumscribing krug, onda je radijus će biti jednaka (A x √3): 3;
• ako upisan u krug trougla, njegov poluprečnik bi (a x √3): 6;
• području geometrijske figure se izračunava po formuli: (A2 x √3): 4.

tup trokut

Po definiciji, tup trougao, jedan od njegovih uglova izme | u 90 na 180 stepeni. Ali s obzirom na činjenicu da je druga dva ugla od geometrijskih oblika oštre, može se zaključiti da ne prelazi 90 stupnjeva. Dakle, zbir uglova trougla teorema radi u izračunavanju zbir uglova u tup trokut. Dakle, slobodno možemo reći, na osnovu gore teorema da je suma tup uglova trougla je za 180 stupnjeva. Opet, ovo teorema ne mora ponovno dokaz.