Fourierova transformacija. Brza Fourierova transformacija. Diskretna Fourierova transformacija

Fourier transformacija - transformacija, povezujući određene funkcije realne varijable. Ova operacija se izvodi svaki put opažamo različite zvukove. Uho proizvodi automatski "obračun", koji ispunjavaju naše svesti mogu tek nakon ispitivanja dio više matematike. organ sluha u ljudskom transformacije gradi, u kojem je zvuk (konvencionalna vibratorno kretanje čestica u elastični medij, koji propagandom u obliku vala u čvrstom, tečnom ili gasovitom srednje) se daje u rasponu od uzastopnih vrijednosti jačinu tonova različite visine. Nakon toga, mozak pretvara informacije u sve poznati zvuk.

Matematički Fourierova transformacija

Konverziju zvučnih valova ili procesa drugih vibracija (lakim emisije i oceana plima i zvjezdani ili solarnih ciklusa) može se izvršiti i putem matematičkih metoda. Tako je, koristeći ove tehnike, funkcije se može proširiti uvođenjem vibracione procese set sinusnih komponenata, i.e. valovit krive što opet ide od najmanje do maksimuma, a zatim na minimum, kao talas mora. Fourier transformacija - funkcija transformacije koja opisuje faze ili amplituda svakog sinusoida odgovara određenoj frekvenciji. Faza je polazište krive, i amplituda - od njegove visine.

Fourierova transformacija (primjeri su prikazani na fotografiji) je vrlo moćan alat, koji se koristi u raznim oblastima nauke. U nekim slučajevima, koristi se kao rješenje prilično složena jednadžbe koje opisuju dinamičan procesa koji se odvijaju pod utjecajem svjetlosti, topline ili električne energije. U drugim slučajevima, to vam omogućava da definišete redovne komponente kompleks valnih oblika, zbog toga može biti istina interpretirati različite eksperimentalne zapažanja u hemije, medicine i astronomije.

istorijske informacije

Prva osoba koja je primijeniti ove metode je francuski matematičar Zhan Batist Fure. Konverzije, kasnije nazvan po njemu, je prvobitno se koristi za opisivanje mehanizam provođenja toplote. Fourier cijeli svoj život kao odrasla osoba koje se bave proučavanjem svojstava vrućine. On je dao ogroman doprinos u matematičku teoriju određivanje korijena algebarskih jednadžbi. Fourier je bio profesor analiza na Ecole Polytechnique, sekretar Instituta egiptologije, bio je carski usluga, što je izazvalo pometnju u vrijeme izgradnje puta u Torinu (pod njegovim vodstvom je ispražnjena od više od 80 hiljada kvadratnih kilometara malarije močvare). Međutim, sve je to aktivizam nije zaustavilo naučnik bavi matematičke analize. 1802. je izvedena jednadžba koja opisuje prostiranje toplote u čvrste materije. U 1807, naučnik otkrio je način za rješavanje ovog jednadžbe, koji je postao poznat kao "Fourierova transformacija".

analiza toplinska provodljivost

Istraživači su koristili matematičke metode za opisivanje mehanizam provođenja toplote. Praktičan primjer, u kojem nije bilo teško u proračun širenja toplinske energije od strane željezni prsten, jedan dio uronjen u vatru. Za obavljanje eksperimenata Fourier Red Hot dio prstena i zakopati ga u finim pijeskom. Nakon toga, mjerenja temperature vrši na suprotnoj dio. U početku, za distribuciju toplotne energije je nepravilan: dio prstena - hladno, a drugi - vruće, između zona može posmatrati nagli temperaturni gradijent. Međutim, tokom distribuciju toplote preko metalnu površinu, postaje više uniformu. Dakle, uskoro, ovaj proces poprima oblik sine talasa. Prva grafikon postepeno povećava i smanjuje glatko, precizno zakonima varijacija kosinus ili sinus funkcije. Wave postepeno izjednačio, a kao rezultat toga, temperatura postaje uniformi na cijeloj površini prstena.

Autor ovog metoda pretpostavlja da je početna distribucija je prilično nepravilan može se rastaviti u nekoliko osnovnih sine valova. Svaki od njih će imati svoje faze (početni položaj), a maksimalna temperatura. Tako je svaki takav komponentu promjene od najmanje do maksimuma i natrag da završi revolucije oko vremena prsten cijeli broj. Komponenta imaju period koji je nazvan osnovnog harmonika, a vrijednost sa dva ili više perioda - drugi i tako dalje. Na primjer, matematička funkcija koja opisuje maksimalne temperature, faza ili položaj koji se zvao Fourierova transformacija funkcije distribucije. Naučnik donio jednu komponentu koja je teško matematički opis, za jednostavan za korištenje alata - redovi sinus i kosinus, u iznosu od davanja početne distribucije.

Suština analize

Primjenom ove analize za konverziju distribuciju toplote na čvrsti predmet, koji ima prstenasti oblik, matematičar obrazložio da povećanje razdoblja sinusnih komponenata dovesti do njenog brzog prigušenja. To se jasno vidi na glavnom i drugi harmonici. Konačna temperatura dostigne dva puta maksimalne i minimalne vrijednosti u jednom prolazu, au prvom - samo jednom. Ispostavilo se da je udaljenost putovao zagrijavanjem u drugog harmonika je upola jezgre. Osim toga, gradijent u drugoj polovini će biti strmija od prve. Stoga, s obzirom da je još intenzivniji termalni tok prolazi udovica minimalne udaljenosti, onda će to biti prigušene harmonika četiri puta brže nego glavni, kao funkcija vremena. U narednim proces će biti još brži. Matematičar vjerovao da ova metoda omogućava nam da izračunati proces inicijalne distribucije temperature s vremenom.

poziv savremenici

Fourierova transformacija algoritam postao je izazov za teorijske osnove matematike u to vrijeme. U ranom devetnaestom stoljeću, najistaknutijih naučnika, uključujući Lagrange, Laplace, Poisson, Legendre i Biot nije prihvatio njegovu tvrdnju da je temperatura od početne distribucije razlaže u komponente u obliku osnovnih talasa i višu frekvenciju. Međutim, Akademije nauka ne može ignorisati dobijenih rezultata matematičar, i dodelio mu je nagradu za teoriju topline sprovođenje zakona, kao i obavljanju svojih odnosu na fizičke eksperimente. U Fourier pristupu, glavni prigovor je činjenica da je diskontinuirani funkcija predstavlja zbir nekoliko sinusoidalni funkcije, koje su kontinuirano. Na kraju krajeva, oni opisuju puca ravno i zakrivljene linije. Suvremene naučnik nikada nije naišao takvoj situaciji, kada su diskontinuirane funkcije opisane kombinacijom kontinuirano, kao što su kvadratna, linearni, sine ili izlagača. U slučaju da je matematičar bio u pravu u svojoj tvrdnji, zbroj beskonačnog niza trigonometrijskih funkcija treba ograničiti na tačnu brzinu. Dok takva tvrdnja činilo apsurdno. Međutim, bez obzira na sumnje neki istraživači (npr Claude Navier, Sofi Zhermen) proširio istraživanja i doveo ih u analizi distribucije topline. A matematika, u međuvremenu, nastavio je da pate na pitanje da li je iznos od nekoliko sinusoidalni funkcija se svodi na tačan zastupljenost pucanja.

200 godina postojanja

Ova teorija je evoluirala preko dva stoljeća, danas je konačno formiran. Uz pomoć prostorni i vremenski funkcije razbijena u sinusoidalni komponente koje imaju frekvencije, faze i amplitude. Ova konverzija se dobiva dva različita matematičke metode. Prvi od njih se koristi u slučaju kada je izvor neprekidna funkcija, a drugi - u slučaju kada je predstavljen mnoštvo diskretnih pojedinačnih promjena. Ako je izraz dobija iz vrijednosti, koji su definisani na diskretnim intervalima, može se podijeliti u nekoliko diskretnih sinusoidalni frekvencije izraza - od najnižeg, a zatim udvostručio, utrostručen, i tako dalje iznad osnovnih. Ovaj iznos se zove Fourierov red. Ako je početni izraz postavlja vrijednost svakog realnog broja, može se razložiti na više sinusoidalni sve moguće frekvencije. To se zove Fourier integral, a odluka podrazumijeva transformaciju integralnu funkciju. Bez obzira na način za dobijanje transformacije, za svaku frekvenciju treba da dva broja: amplitude i frekvencije. Ove vrijednosti su izražene kao jedan kompleksan broj. Izraz kompleksne varijable teorije zajedno sa Fourier transformacija za obavljanje proračuna omogućila je dizajn raznih električnih krugova, analiza mehaničkih vibracija, proučavanje mehanizma valova i drugi.

Fourierova transformacija danas

Danas, proučavanje ovog procesa u osnovi svodi na pronalaženje efikasne metode za prelazak sa funkcije pretvoriti ga natrag na pamet. Ovo rješenje se zove direktni i inverzni Fourierova transformacija. Šta to znači? Kako bi se utvrdilo je sastavni i napraviti direktnu Fourierova transformacija, možete koristiti matematičke metode, ali možete analitički. Uprkos činjenici da kada se koriste u praksi postoje neke poteškoće, većina integrali su već pronađeni i ušli u matematičke priručnicima. Sa može se izračunati uz pomoć numeričkih metoda izraza, čiji oblik se temelji na eksperimentalnim podacima, funkciju čiji integrale u tablicama su nestali, a oni su teško zamisliti u analitičkom obliku.

Prije pojave kompjutera inženjerske proračune takve transformacije su vrlo dosadan, oni zahtijevaju upotrebu izvršenje velikog broja aritmetičkih operacija koje ovise o broju bodova koji opisuju funkciju vala. Da bi se olakšalo rješavanje danas, postoje posebni programi, dozvoljena implementaciju novih analitičkih metoda. Dakle, u 1965, Džejms Kuli i Dzhon Tyuki stvorio softver koji je postao poznat kao "Fast Fourier Transform". To štedi vrijeme proračuna smanjenjem broja množenja u analizi krive. "Fast Fourier Transform" Metoda se zasniva na podeli krive u veliki broj jedinstvenih vrijednosti uzorka. U skladu s tim, broj množenja se smanjuje za pola u isto smanjenja broja bodova.

Primjenom Fourierove transformacije

Ovaj postupak se koristi u raznim oblastima: U teoriji brojeva, fizici, obrada signala, kombinatorika, teorija vjerojatnosti, kriptografija, statistike, oceanografiju, optika, akustika, i druge geometrije. Bogate mogućnosti za njegovu upotrebu zasnivaju se na brojne korisne funkcije, koji se nazivaju "svojstva transformacije Fourier." Neka nam ih ispita.

1. Funkcija konverzije je operator linearan i odgovarajući normalizacija je unitarna. Ova nekretnina je poznat kao Parsevalov teorem, ili u opštem slučaju, teorema Plansherelja ili Pontrjagin dualizam.

2. Konverzija je reverzibilan. Osim toga, suprotno rezultat je suštinski sličan oblik kao u direktnom adresiranje.

3. sinusoidalni osnovni izrazi vlastite diferencirane funkcije. To znači da je takvo zastupanje mijenja linearnih jednadžbi s konstantnim koeficijentima u konvencionalnom algebarskih.

4. Prema "vijuga" teorem, proces čini složena operacija u osnovnoj množenja.

5. Diskretna Fourierova transformacija se može brzo dizajniran na računaru koristeći "brze" metoda.

Varijacije Fourierova transformacija

1. Najčešće termin se koristi da se odnosi na kontinuiranu transformaciju, pružajući bilo četvrtasto spojiv izraz kao zbir kompleksnih eksponencijalnog izraza sa posebnim ugaonim frekvencija i amplituda. Ova vrsta ima nekoliko različitih oblika, koji mogu biti različiti konstantnim koeficijentima. Metodom kontinuiranog uključuje stol konverzije, koje se mogu naći u matematičkom priručnicima. Generalizovani slučaj je razlomljeni konverzije, pri čemu ovaj proces se može podići na željenu stvarnu moć.

2. metodom kontinuiranog je generalizacija ranije tehnike Fourier serije definirane za bilo periodičke funkcije ili izraza, koje postoje u ograničenom području i da ih predstavljaju kao niz sinusoida.

3. Diskretna Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi za izračunavanje za naučno obračun i digitalne obrade signala. Za obavljanje ove vrste obračuna je potrebno da ima funkciju utvrđivanja na diskretni skup pojedinačnih poena, periodične ili ograničene regija umjesto kontinuiranog Fourier integrali. Signal konverzije u ovom slučaju je predstavljena kao zbir sinusoida. Korištenje "brzo" metoda omogućava korištenje digitalnih rješenja za sve praktične svrhe.

4. Prozor Fourierova transformacija je generalizirani pogled na klasičnom metodom. Za razliku od standardnih rješenja kada se koristi spektar signala, koji se uzima u punom opsegu postojanja ove varijable je od posebnog interesa ovdje je samo lokalnu distribuciju frekvencija zadržavajući originalni varijabla (vremenu).

5. dvodimenzionalni Fourierova transformacija. Ova metoda se koristi za rad sa dvodimenzionalni nizovi podataka. U tom slučaju, konverzija se obavlja u jednom smjeru, a zatim - u drugoj.

zaključak

Danas, Fourier metoda je čvrsto uporište u raznim oblastima nauke. Na primjer, 1962. godine otvorila oblik DNK dvostruke spirale korištenjem Fourier analize u kombinaciji sa difrakcijom X-zraka. Nedavni kristala fokusiran na DNK vlakana, što je rezultiralo slika koja se dobija difrakcije, snimljen na filmu. Ova slika je dao informacije o vrijednosti amplitude pomoću Fourierove transformacije na ovu kristalnu strukturu. Faza podaci dobijeni usporedbom DNK difrakcija kartice sa karticama koje se dobijaju u analizi sličnih kemijskih struktura. Kao rezultat toga, biolozi obnovljena kristalne strukture - u prvobitnu funkciju.

Fourierova transformacija igraju veliku ulogu u istraživanju svemira, fizika poluvodiča materijala i plazma, mikrovalna akustike, oceanografiju, radar, seizmologije i medicinske preglede.