Jednadžbu avion: kako napraviti? Vrste avion jednadžbe

Avion prostor može se definirati na različite načine (jednu točku i vektor, vektor i dva boda, tri boda, itd). To je s tim na umu, avion jednadžba mogu imati različite vrste. I pod određenim uslovima avion može biti paralelno, okomito, seku, itd Na ovoj i da će govoriti u ovom članku. Mi ćemo naučiti da opće jednadžbe aviona i ne samo to.

Normalan oblik jednadžbe

Pretpostavimo R je prostor _3, koja ima pravougaoni koordinatni sistem XYZ. Ćemo definirati vektor α, koji će biti objavljen od početne tačke O. Do kraja vektora α nacrtati avion P koja je okomita na to.

Označavaju P u proizvoljnom trenutku Q = (x, y, z). Radijus vektor točke Q znak pismo str. Dužinu vektora jednak α p = IαI i Ʋ = (cosα, cosβ, cosγ).

Ova jedinica vektor, koji je usmjeren u pravcu kao vektor α. α, β i γ - su uglovi koji se formiraju između vektora i pozitivnih pravaca Ʋ prostor osi x, y, z respektivno. Projekciju točke na vektor QεP Ʋ je konstanta koja je jednaka p (p, Ʋ) = p (r≥0).

Gore jednadžba ima smisla kada je p = 0. Jedini n avion u ovom slučaju, da pređe tačke O (α = 0), koja je izvor, a jedinični vektor Ʋ, pušten iz tačke O će biti okomito na P, iako je njegova smjera, što znači da je vektor Ʋ određuje do znaka. Prethodna jednadžba je naš avion P, izražen u vektorskom obliku. Ali s obzirom na njegove koordinate je:

P je jednaka ili veća od 0. Našli smo avion jednadžbe u normalnoj formi.

Opće jednačina

Ako je jednadžba u koordinatama pomnožiti bilo koji broj koji nije jednak nuli, dobivamo jednadžbu ekvivalent ovom koji definira vrlo avion. To će imati sljedeći obrazac:

Evo, A, B, C - je broj istovremeno različit od nule. Ova jednadžba naziva se jednadžba opšti oblik aviona.

Jednačine avione. Posebni slučajevi

Jednačina može generalno biti modifikovani sa dodatnim uvjetima. Razmotrimo neke od njih.

Pretpostavimo da je koeficijent je 0. To ukazuje na to da je avion paralelno sa unapred osu Ox. U ovom slučaju, oblik jednadžbe mijenja: Wu + Cz + D = 0.

Slično tome, oblik jednadžbe i da će varirati sa sljedećim uvjetima:

• Prvo, ako je B = 0, jednadžba promjene Ax + Cz + D = 0, što bi ukazivalo na paralelizam na osi Oy.
• Drugo, ako je C = 0, jednadžba se pretvara u ax + by + D = 0, to jest o paralelno sa unapred osi Oz.
• Treće, ako je D = 0, jednadžba će se pojaviti kao Ax + By + Cz = 0, što bi značilo da je avion presijeca O (poreklo).
• Četvrto, ako je A = B = 0, jednadžba promjene Cz + D = 0, što će se pokazati paralelizam Oxy.
• Peto, ako je B = C = 0, jednadžba postaje Ax + D = 0, što znači da je avion paralelno Oyz.
• Šesto, ako je A = C = 0, jednadžba ima oblik Wu + D = 0, i.e. će izvještavati paralelizam OXZ.

Oblik jednadžbe u segmentima

U slučaju kada brojevi A, B, C, D različit od nule, oblik jednadžbe (0) može biti kako slijedi:

x / a + y / b + z / c = 1,

u kojoj je = -D / A, b = -D / B, C = -D / C.

Mi dobijamo kao rezultat jednadžbe aviona u komadima. Treba napomenuti da će ovaj avion seku x-osi na mjestu sa koordinatama (a, 0,0), Oy - (0, b, 0), i Oz - (0,0, e).

S obzirom na jednadžbu x / a + y / b + z / c = 1, to nije teško vizualizirati plasman avion u odnosu na unapred koordinatnom sistemu.

Koordinate vektora normale

Vektora normale n na ravninu P ima koordinate koje su koeficijenti opće jednadžbe aviona, i.e. N (A, B, C).

U cilju utvrđivanja koordinata normalne n, dovoljno je znati opće jednadžbe dati avion.

Kada koristite jednadžbe u segmentima, koji ima oblik x / a + y / b + z / c = 1, kao kada se koristi opće jednadžbe se može pisati koordinate svakog normalnog vektora dati avion: (1 / a + 1 / b + 1 / c).

Treba napomenuti da je normalno vektor pomaganje pri rješavanju različitih problema. Najčešći problemi su koji se sastoji u proof okomito ili paralelno ravni, zadatak pronalaženja uglova između ravni ili uglovima između aviona i ravnih linija.

Tip prema avion jednadžbe i koordinate točke vektora normale

Nula vektor n, okomit na određeni avion, nazvan normalan (normalan) na predodređen avion.

Pretpostavimo da u koordinatnom prostoru (pravougaonog koordinatni sistem) Oxyz set:

• Mₒ point sa koordinatama (hₒ, uₒ, zₒ);
• nula vektor n = A * i + B * j + C * k.

Potrebno je da se jednadžba ravni koja prolazi kroz Mₒ trenutku okomito na normalan n.

U prostoru biramo bilo proizvoljna tačka i označavaju M (x, y, z). Neka radijus vektor svake tačke M (x, y, z) biti r = x * i + y * j + z * k, a radijus vektor točke Mₒ (hₒ, uₒ, zₒ) - rₒ = hₒ * i + uₒ * j + zₒ * k. Poenta M će pripadati dati avion, ako je vektor MₒM biti okomito na vektor n. Pišemo stanje ortogonalnosti pomoću skalarnog proizvoda:

[MₒM, n] = 0.

Od MₒM = r-rₒ, vektor jednadžba avion će izgledati ovako:

[R - rₒ, n] = 0.

Ova jednačina može imati drugačiji oblik. Za tu svrhu, svojstva proizvoda skalar, i pretvoriti lijevoj strani jednadžbe. [R - rₒ, n] = [r, n] - [rₒ, n]. Ako [rₒ, n] označen kao e, dobivamo sljedeće jednadžbe: [r, n] - a = 0 ili [r, n] = e, koji izražava konstantnost projekcije na normalan vektor radijus-vektora datih tačaka koje pripadaju avion.

Sada možete dobiti koordinata tip snimanja avion naš vektor jednadžbu [r - rₒ, n] = 0. Od r-rₒ = (x-hₒ) * i + (y-uₒ) * j + (z-zₒ) * k, i n = A * i + B * j + C * k, imamo:

Ispostavilo se da imamo jednadžbu se formira ravni koja prolazi kroz tačku okomito na normalu n:

A * (x hₒ) + B * (y uₒ) S * (z-zₒ) = 0.

Tip prema avion jednadžbe i koordinate dva boda vektora avion kolinearne

Ćemo definirati dvije proizvoljne točke M '(x', y ', z') i M "(x", y "z"), kao i vektor (a ', A ", a ‴).

Sada možemo napisati jednadžbu unapred ravni koja prolazi kroz postojeće tačku M i M ", a svaka tačka sa koordinatama M (x, y, z) paralelno dati vektor.

Tako M'M vektora x = {x ', y-y'; zz '} i M "M = {x" -x', y 'y'; z "-z '} bi trebalo da bude coplanar sa vektora a = (a ', a ", a ‴), što znači da (M'M M" M, a) = 0.

Dakle, naš jednadžba avion u prostor će izgledati ovako:

Tip aviona jednadžbe, prelazeći tri boda

Recimo da imamo tri točke: (x ', y', z '), (x', y ', z'), (x ‴ Have ‴, z ‴), koji ne pripadaju istoj liniji. Potrebno je da napišete jednadžbu ravni koja prolazi kroz tri boda navedeno. teorija geometrije tvrdi da je ova vrsta avion ne postoji, to je samo jedan i jedini. Pošto je ovo avion presijeca tačke (x ', y', z '), njegova jednadžba oblik bi bio:

Evo, A, B i C su različiti od nule u isto vrijeme. Također s obzirom avion presijeca još dva poena (x ", y" z ") i (x ‴, y ‴, z ‴). S tim u vezi treba obaviti ovu vrstu uslova:

Sada možemo stvoriti jedinstveni sistem jednačina (linearno) sa nepoznanica u, v, w:

U našem slučaju x, y ili z stoji proizvoljna tačka koja zadovoljava jednadžbu (1). S obzirom na jednadžbu (1) i sistem jednadžbi (2) i (3) sistem jednačina je prikazano na slici gore, vektor zadovoljava N (A, B, C), koji je netrivijalna. To je zato što je odrednica sistema je nula.

Jednadžba (1) koje imamo, ovo je jednadžba aviona. 3 point ona stvarno ide, a to je lako provjeriti. Da biste to učinili, mi proširiti determinanta elementima u prvom redu. Postojećih svojstava odredila slijedi da je naš avion istovremeno presijeca tri prvobitno određene tačke (x ', y', z '), (x ", y" z "), (x ‴, y ‴, z ‴). Pa smo odlučili da zadatak pred nama.

Dihedral ugao između ravni

Dihedral ugao je prostorna geometrijski oblik formira dva pola aviona koji proističu iz ravnoj liniji. Drugim riječima, dio prostora koji je ograničen na pola aviona.

Pretpostavimo da imamo dva avion sa sljedećim jednadžbe:

Mi znamo da je vektor N = (A, B, C) i n¹ = (A¹, H¹, S¹) prema unaprijed utvrđenim avioni su okomite. U tom smislu, ugao φ između vektora N i n¹ jednak kut (Dihedral), koji se nalazi između ovih aviona. Skalarni proizvod je dao:

NN¹ = | N || n¹ | cos φ,

upravo zato

cosj = NN¹ / | N || n¹ | = (AA¹ + VV¹ SS¹ +) / ((√ (A² + s² + V²)) * (√ (A¹) ² + (H¹) ² + (S¹) ²)).

Dovoljno je uzeti u obzir da 0≤φ≤π.

Zapravo dva aviona koji su se seku, oblik dva ugla (Dihedral): φ ₁ i φ _2. Njihov zbroj je jednak Š (φ ₁ + φ ₂ = π). Što se tiče njihove kosinuse, njihove apsolutne vrijednosti su jednake, ali su različiti znakovi, to jest, jer φ ₁ = -cos φ _2. Ako se u jednadžbu (0) mijenja se A, B i C -A, -B i -C odnosno, jednačina dobijamo, će odrediti istoj ravni, jedini kut φ u jednačini cos φ = NN ¹ / | N || N ¹ | To će biti zamijenjen π-φ.

Jednadžbu okomitoj ravnini

Nazvan okomitoj ravnini, između kojih je ugao 90 stepeni. Koristeći materijal gore navedenih, jednačina aviona možemo naći okomito na druge. Pretpostavimo da imamo dva aviona: Ax + By + Cz + D = 0, a + A¹h V¹u S¹z + + D = 0. Možemo reći da su ortogonalni ako cos = 0. To znači da NN¹ = AA¹ + VV¹ SS¹ + = 0.

Jednadžbe paralelne ravni

To iz dva paralelna ravni koja ne sadrže dodirnih tačaka.

Stanje u paralelnim ravnima (njihove jednadžbe su isti kao u prethodnom pasusu) je da su vektori N i n¹, koji su okomito na njih, kolinearne. To znači da se sljedeći uvjeti su ispunjeni proporcionalnosti:

A / A¹ = B / C = H¹ / S¹.

Ako se proporcionalno proširio - A / A¹ = B / C = H¹ / S¹ = DD¹,

to znači da je avion podaci istih. To znači da jednadžba ax + by + Cz + D = 0 i + A¹h V¹u S¹z + + D¹ = 0 opisati jedan avion.

Udaljenost od tačke do aviona

Pretpostavimo da imamo avion P, koji se daje (0). Potrebno je da udaljenost od tačke sa koordinatama (hₒ, uₒ, zₒ) = Qₒ. , Morate donijeti jednadžbe u avionu II normalna pojava da bi se:

(Ρ, v) = p (r≥0).

U ovom slučaju, ρ (x, y, z) je radijus vektor naše tačke Q, nalazi se na n p - n je dužina okomito, koji je pušten iz nulte točke, v - je jedinični vektor, koji je uređen u pravac.

Razlika ρ-ρº radijus vektor točke Q = (x, y, z), pripadaju n i radijus vektor date tačke Q ₀ = (hₒ, uₒ, zₒ) je takav vektor, apsolutna vrijednost projekcije koja na v jednaka udaljenost d, što je potrebno pronaći od Q = ₀ (hₒ, uₒ, zₒ) do P:

D = | (ρ-ρ ^0, v) |, ali

(Ρ-ρ ^0, v) = (ρ, v ) - (ρ ^0, v) = p (ρ ^0, v).

Tako se ispostavilo,

d = | (ρ ^0, v) p |.

Sada je jasno da izračunati udaljenost d od ₀ do Q avion P, potrebno je koristiti normalni prikaz avion jednadžbe, prelazak na lijevo od p, i posljednjem mjestu x, y, z zamjena (hₒ, uₒ, zₒ).

Dakle, nalazimo apsolutnu vrijednost rezultira izraz koji je potreban d.

Pomoću parametara jezika, dobijamo očigledno:

d = | Ahₒ Vuₒ + + Czₒ | / √ (A² + V² + s²).

Ako je navedenu točku Q ₀ je na drugoj strani aviona P kao porijekla, a zatim između vektora ρ-ρ ⁰ i v je tup ugao, ovako:

d = - (ρ-ρ ^0, v) = (ρ ^0, v) -p> 0.

U slučaju kada je tačka Q ₀ u kombinaciji sa porijekla koji se nalazi na istoj strani U, oštrim uglom se stvara, i to:

d = (ρ-ρ ^0, v) = p - (ρ ^0, v)> 0.

Rezultat toga je da je u prvom slučaju (ρ ^0, v)> p, u drugom (ρ ^0, v)

I njegova tangenta avion jednadžbe

Što se tiče aviona na površinu u trenutku tangens Mº - avion koji sadrži sve moguće tangente na krivu izvući preko tog trenutka na površini.

Uz ove površine oblik jednadžbe F (x, y, z) = 0 u jednadžbu Mº tangenta avion tangenta točka (hº, uº, zº) bio bi:

F _x (hº, uº, zº) (hº x) + F _x (hº, uº, zº) (uº y) + F _x (hº, uº, zº) (z-zº) = 0.

Ako je površina postavljena izričito z = f (x, y), onda je avion tangenta je opisan jednadžbom:

z-zº = f (hº, uº) (hº x) + f (hº, uº) (y uº).

Raskrsnici dva aviona

U trodimenzionalnom prostoru je koordinatni sistem (pravokutnog) Oxyz, s obzirom na dva aviona P 'i P' koje se preklapaju i ne poklapaju. Jer svaki avion, koji je u pravougaoni koordinatnom sistemu definisan opće jednadžbe, pretpostavimo da n 'i n "su definirani od strane jednadžbe A'x + V'u S'z + + D' = 0 i A" + B x '+ y sa "z + D" = 0. U ovom slučaju imamo normalan n '(A', B ', C') aviona P 'i normalno n "(A" B "C") aviona P'. Kao što je naš avion nisu paralelne i ne podudaraju, onda se ovi vektori nisu kolinearna. Koristeći jezik matematike, imamo ovo stanje se može pisati kao: n '≠ n "↔ (A', B ', C') ≠ (λ * I", λ * U ", λ * C"), λεR. Neka prava linija koja se nalazi na križanju P 'i P ", bit će označen slovom A, u ovom slučaju = P' ∩ P".

i - liniju koja se sastoji od mnoštva bodova (zajedničkih) aviona P 'i P ". To znači da koordinata bilo kojem trenutku pripadaju liniji a, moraju istovremeno zadovoljiti jednadžbu A'x + V'u S'z + + D '= 0 i A "x + B' + C y" z + D "= 0. To znači da se koordinate točke će biti poseban rješenje od sljedećih jednadžbi:

Rezultat je da je rješenje (ukupno) ovog sustava jednadžbi će odrediti koordinate svake od tačaka na liniji koje će djelovati kao tačka presjeka P 'i P ", i odrediti liniju u koordinatnom sistemu Oxyz (pravokutnog) prostor.