Aritmetička progresija

Problemi sa aritmetičkom progresijom postojali su već u drevnim vremenima. Pojavili su se i tražili rješenja, jer su imali praktičnu potrebu.

Tako, u jednom od papirija drevnog Egipta, koji ima matematički sadržaj, Rhindus papyrus (XIX vek pre ne) - sadrži takav zadatak: uklonio deset mera hljeba za deset ljudi, pod uslovom da je razlika između svake od njih jedna osma mjera. "

A u matematičkim radovima starih Grka postoje elegantne teoreme vezane za aritmetičku progresiju. Tako je Gipsicle of Alexandria (II vek pre nove ere), koji je sastavio mnoge interesantne probleme i dodao četrnaestu knjigu Euclidovim principima, formulisao ideju: "U aritmetičkoj progresiji koja ima čak i broj termina, suma članova druge polovine je veća od sume uslova 1- Broj koji je višestruki kvadrat 1/2 od broja izraza. "

Uzimamo proizvoljnu seriju pozitivnih celih brojeva (većih od nula): 1, 4, 7, ... n-1, n, ..., što se zove numerička sekvenca.

Sekvenca an. Brojevi sekvence nazivaju se njenim članovima i obično se označavaju slovima sa indeksima koji ukazuju na serijski broj ovog člana (a1, a2, a3 ... čitati: "1.", "2.", "3-y" i tako dalje ).

Niz može biti beskonačan ili konačan.

A šta je aritmetička progresija? To se shvata kao redosled brojeva dobijen dodavanjem prethodnog izraza (n) sa istim brojem d, što je razlika progresije.

Ako je d <0, onda imamo smanjenje progresije. Ako je d> 0, onda se smatra da se takav napredak povećava.

Kaže se da je aritmetička progresija ograničena ako se uzmu u obzir samo nekoliko njegovih prvih termina. Sa velikim brojem članova, ovo je beskonačna progresija.

Svaka aritmetička progresija se daje sledećom formulom:

An = kn + b, a b i k su neki brojevi.

Izjava koja je obrnuta je apsolutno tačno: ako sekvencu daje slična formula, onda je to upravo aritmetička progresija koja ima svojstva:

1. Svaki član progresije je aritmetička sredina prethodnog termina i sledeća.
2. Nasuprot tome, ako, počev od 2., svaki izraz je aritmetička sredina prethodnog termina, a sledeći, tj. Ako je uslov zadovoljen, onda je ova sekvenca aritmetička progresija. Ova jednakost je takođe znak progresije, stoga se, po pravilu, naziva karakteristična svojstva progresije.
   Slično tome, teorema koja odražava ovu osobinu je istinita: sekvenca je aritmetička progresija samo ako je ova jednakost tačna za bilo koji od pojmova sekvence, počevši od drugog.

Karakteristična svojina za bilo koji četiri broja aritmetičke progresije može se izraziti formulom an + am = ak + al ako je n + m = k + l (m, n, k su progresivni brojevi).

U aritmetičkoj progresiji, svaki potreban (N-ti) termin se može pronaći pomoću sledeće formule:

An = a1 + d (n-1).

Na primjer: daje se prvi izraz (a1) u aritmetičkoj progresiji i jednak je tri, a razlika (d) je jednaka četiri. Nađite četrdesetpetog člana ove progresije. A45 = 1 + 4 (45-1) = 177

Formula an = ak + d (n - k) nam omogućava da odredimo nth izraz aritmetičke progresije kroz bilo koji njegov k-ti termin, pod uslovom da je poznato.

Suma pojmova aritmetičke progresije (mi podrazumevamo prve n pojmove konačne progresije) izračunava se kako slijedi:

Sn = (a1 + an) n / 2.

Ako je razlika između aritmetičke progresije i prvog termina poznata, onda je druga formula pogodna za računanje:

Sn = ((2a1 + d (n-1)) / 2) * n.

Suma aritmetičke progresije, koja sadrži n izraze, izračunava se tako:

Sn = (a1 + an) * n / 2.

Izbor formulacija za izračunavanje zavisi od uslova zadataka i početnih podataka.

Prirodna serija svih brojeva, kao što je 1,2,3, ..., n, ... je najjednostavniji primer aritmetičke progresije.

Pored aritmetičke progresije, postoji i geometrijska progresija koja ima svoje osobine i karakteristike.