Cramer vladavine i njegova primjena

Kramerovo pravilo - jedna je od egzaktnih metoda za rješavanje sistema linearnih algebarskih jednadžbi (Slough). Njegova preciznost zbog upotrebe determinanti matrice sistema, kao i neke od ograničenja u dokaz teorema.

Sistem linearnih algebarskih jednadžbi sa koeficijentima koji pripadaju, na primjer, mnoštvo R - realnih brojeva nepoznanica x1, x2, ..., xn je zbirka izraza

AI2 x1 + AI2 x2 + ... Ain xn = BI s i = 1, 2, ..., m, (1)

gdje aij, bi - realni brojevi. Svaki od ovih izraza se zove linearne jednadžbe, aij - koeficijenti nepoznanica, bi - nezavisni koeficijenti jednadžbe.

rješenje (1) iz n-dimenzionalni vektor x ° = (x1 °, x2 °, ..., xn °), na kojoj supstitucija u sistem za nepoznanica x1, x2, ..., xn, svaka od linija u sistem postane najbolji jednadžba .

Sistem se zove konzistentan ako ima najmanje jedno rješenje, i nedosljedan, ako se poklapa sa rješenjem set prazan skup.

Ne smije se zaboraviti da je u cilju iznalaženja rješenja za sisteme linearnih jednadžbi metodom Cramer, matrica sistema moraju biti kvadratni, što u osnovi znači isti broj nepoznanica i jednačina u sistemu.

Dakle, da koriste metodu Cramer, morate biti barem znati što je Matrix sistem linearnih algebarskih jednadžbi, i izdaje. I drugo, da razumiju ono što se zove determinanta matrice i vlastite sposobnosti računanja.

Pretpostavimo da ovo znanje koje posjeduju. Divno! Onda morate samo napamet formule određivanja Kramer metoda. Da bi se pojednostavio pamćenja koristili sljedeće bilješke:

• Det - glavna determinanta matrice sistema;

• deti - je determinanta matrice dobijene iz primarnog matricu sistema zamjenom i-ti stupac matrice na stupac vektor čiji su elementi pravo strane linearnih algebarskih jednadžbi;

• n - broj nepoznanica i jednačina u sistemu.

Onda Cramer pravilo računanja i-toj komponenti xi (i = 1, .. n) n-dimenzionalni vektor x može pisati kao

xi = deti / Det, (2).

U ovom slučaju, Det strogo različit od nule.

Jedinstvenost rješenja sistema kada se zajednički pruža nejednakost stanje glavnih odrednica sistema na nulu. U suprotnom, ako je zbir (xi), kvadrat, strogo pozitivan, onda SLAE kvadratne matrice je neizvodljivo. Ovo se može desiti, posebno kada je najmanje jedan od deti nule.

Primjer 1. Da bi riješili trodimenzionalni sistem LAU koristeći Cramer formule.
2 x1 + x2 + x3 = 31 4,
5 x1 + x2 + x3 = 2 29,
3 x1 - x2 + x3 = 10.

Odluke. Mi zapisati matricu sistema liniju po liniju, gdje Ai - je i-ti red matrice.
A1 = (1 2 4), A2 = (5 1 2), A3 = (3, -1, 1).
Kolona besplatno koeficijenti b = (31 29 10).

Glavni sistem je determinanta Det
Det = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a31 a21 a32 - A13 A22 A31 - A11 A32 A23 - A33 A21 A12 = 1 - 20 + 12 - 12 + 2 - 10 = -27.

Da bi izračunali permutacija det1 koristeći a11 = b1, a21 = b2, a31 = B3. onda
det1 = b1 A22 A33 + a12 a23 b3 + a31 b2 A32 - A13 A22 B3 - b1 A32 A23 - A33 b2 a12 = ... = -81.

Slično tome, za izračunavanje DeT2 izmjenu korištenje a12 = b1, A22 = b2, A32 = B3, i, prema tome, da se izračuna det3 - A13 = b1, a23 = b2, A33 = B3.
Onda možete provjeriti da DeT2 = -108, i det3 = - 135.
Prema formule Cramer naći x1 = -81 / (- 27) = 3, x2 = -108 / (- 27) = 4, x3 = -135 / (- 27) = 5.

Odgovor: x ° = (3,4,5).

Oslanjajući se na primjenjivosti ovog pravila, način Kramer rješavanja sistema linearnih jednačina može se koristiti indirektno, na primjer, da istraži sistema na mogući broj rješenja ovisno o vrijednosti parametra k.

Primjer 2. Da biste utvrdili na koje vrijednosti parametra k nejednakost | kx - y - 4 | + | x + ky + 4 | <= 0 ima točno jedno rješenje.

Odluke.
Ova nejednakost, po definiciji funkcije modula može se obavljati samo ako su oba izraza su nula istovremeno. Stoga, ovaj problem se svodi na pronalaženje rješenja linearnih algebarskih jednadžbi

kx - y = 4,
x + ky = -4.

Rješenje za ovaj sistem samo ako je glavna odrednica
Det = k ^ {2} + 1 je različit od nule. Jasno je da je ovaj uvjet zadovoljen za sve prave vrijednosti parametra k.

Odgovor: za sve prave vrijednosti parametra k.

Ciljevi ovog tipa može se smanjiti mnogo praktičnih problema iz oblasti matematike, fizike ili kemije.