Kako izračunati područje piramide: baze, sa strane i puna?

U sklopu priprema za ispit kod studenata matematike moraju sistematizuju znanje algebre i geometrije. Ja bih da kombinuju sve poznate informacije, kao što su kako izračunati područje piramide. Osim toga, počevši od dna i okrenut dok cijelu površinu. Ako je okrenut situacija je jasna, jer su trokuti, osnovica je uvijek drugačiji.

Kako biti kada je površina baze piramide?

To može biti prilično bilo brojka od proizvoljnog trougla na n-gon. I ove baze, osim razlika u broju uglova, može biti tačno ili netačno figura. U interesu studenata zadataka na ispitu naći samo posao sa ispravnim podacima u bazi. Zbog toga, mi ćemo govoriti samo o njima.

jednakostranični trougao

To je jednakostranični. Jedan da sve strane su jednake i koje odredi slovo "a". U ovom slučaju, baza područje piramide se izračunava po formuli:

S = (a ² * √3) / 4.

kvadrat

Formula za izračunavanje svoje područje je najjednostavniji, je "a" - strana je ponovo:

I S = ^2.

Proizvoljno redovne n-gon

Na strane poligona istog oznaka. Za broj uglova koriste latinicom n.

S = (n * a ²⁾ / (4 * tg (180º / n)) .

Kako ući u obračun području lateralne i cijelu površinu?

Budući da je baza brojka je u pravu, onda sva ta lica piramide su jednaki. Svaka od kojih je jednakokračan trokut, jer bočne ivice su jednaki. Zatim, kako bi se izračunati na području jedne strane piramide potrebna formula koja se sastoji od zbira monomials identični. Broj mandata utvrđuje se iznos osnovice strane.

Području jednakokrakog trougla se izračunava po formuli u kojoj se pola proizvoda na bazi pomnožen sa visine. Ova visina u piramidi zove apothem. Njegova oznaka - "A". Opća formula za područje bočnih površina je kako slijedi:

S = ½ P * A, gdje je P - perimetar baze piramide.

Postoje trenuci kada se ne zna u bazu strani, ali bočne ivice (a) ravno i ugao na tjemenu (α). Onda se oslanja koristiti sljedeću formulu za izračunavanje bočnu piramide:

S = n / 2 da bih ² * sin α.

Zadatak № 1

Stanje. Nađi ukupne površine piramide, ako je baza jednakostraničnog trougla sa strane 4 cm i ima vrijednost √3 apothem cm.

Odluke. Trebalo bi početi sa obračun osnovice perimetra. Budući da je ovo običan trokut, onda je P = 3 * 4 = 12 cm apothem Kao što je poznato, može se odmah izračunati na području cijele bočna površina :. ½ * 12 * √3 = 6√3 ^cm2.

Da biste dobili bazu trokuta je vrijednost područja (4 ² * √3) / 4 = 4√3 ^cm2.

Kako bi se utvrdilo je cijelo područje treba da preklopite dva rezultira vrijednosti: 6√3 + 4√3 = 10√3 ^cm2.

Odgovor. 10√3 ^cm2.

Problem № 2

Stanje. Tu je i redovna četvrtasti piramide. Dužina baze jednaka 7 mm, bočne ivice - 16 mm. Morate znati svoje površine.

Odluke. S obzirom da je poliedar - pravougaoni i ispravan, u osnovi je kvadrat. Sluha bazi području i bočnih strana moći računati na trgu piramide. Formula za kvadrat je dat gore. I znam da sve strane lica trokut. Zbog toga, možete koristiti Heron formula za izračunavanje njihovog područja.

Prvi proračuni su jednostavne i dovesti na ovaj broj: 49 mm ^2. Da bi izračunali drugu vrijednost potrebno semiperimeter: (7 + 16 * 2): 2 = 19,5 mm. Sada možemo izračunati na području jednakokrakog trougao: √ (19,5 * (19,5-7) * (19,5-16) ²⁾ = √2985,9375 = 54,644 mm ^2. Postoje četiri trokuta, tako da prilikom izračunavanja konačne brojke će morati da se pomnoži sa 4.

Dobijeni: 49 + 4 * 54.644 = 267,576 ^mm2.

Odgovor. 267,576 željenu vrednost od ² mm.

Zadatak № 3

Stanje. Na redovnim četvrtasti piramide potrebno je izračunati području. Poznato je strani trga - 6 cm i visine - 4 cm.

Odluke. Najlakši način da koriste formulu za proizvod perimetru i apothem. Prva vrijednost je pronađena jednostavno. Drugi malo teže.

Ćemo morati sjetiti Pitagorin teorem i razmotriti pravouglog trougla. To se formira po visini piramide i apothem, što je hipotenuze. Revanšu je pola strani trga, kao visina poliedar spada u sredini.

Favored apothem (hipotenuze pravouglog trougla) je jednak √ (mart ² + 4 ²⁾ = 5 (cm).

Sada je moguće izračunati željenu vrijednost: ½ * (4 * 6) * 5 + 6 ² = 96 (cm ^2).

Odgovor. 96 cm ^2.

Problem № 4

Stanje. Dana redovne šesterokutna piramide. Stranama svoje baze jednak 22 mm, bočne ivice - 61 mm. Kolika je površina bočnih površina tog poliedra?

Odluke. Obrazloženje u tome su isti kao što je opisano u zadatku №2. Samo piramida je tu dao do trga u bazi, a sada je to šesterokut.

Prvi korak se izračunava baze područje iznad formule ^{(6 * 22 2) / (} 4 * tg (180º / 6)) = 726 / (tg30º) = 726√3 ^cm2.

Sada morate pronaći pola perimetru jednakokrakog trokuta, što je strana lica. (22 + 61 * 2) :. = 72 cm 2 i dalje na formulu Heron je za izračunavanje površina svakog trokuta, a zatim pomnožite sa šest puta, a onaj koji se ispostavilo da bazu.

Proračuni na Heron formula: √ (72 * (72-22) * (72-61) ²⁾ = √435600 = 660 cm ^2. Proračuni koji će omogućiti bočnog površinu: 660 * 6 = 3960 cm ^2. Ostaje da ih dodati do saznati cijelu površinu: 5217,47≈5217 cm ^2.

Odgovor. Grounds - 726√3 cm ^2, na boku - 3960 cm ^2, cijelo područje - 5217 cm ^2.